Explicit monomial expansions of the generating series for connection coefficients

This paper is devoted to the explicit computation of generating series for the connection coefficients of two commutative subalgebras of the group algebra of the symmetric group, the class algebra and the double coset algebra. As shown by Hanlon, Stanley and Stembridge (1992), these series gives the spectral distribution of some random matrices that are of interest to statisticians. Morales and Vassilieva (2009, 2011) found explicit formulas for these generating series in terms of monomial symmetric functions by introducing a bijection between partitioned hypermaps on (locally) orientable surfaces and some decorated forests and trees. Thanks to purely algebraic means, we recover the formula for the class algebra and provide a new simpler formula for the double coset algebra. As a salient ingredient, we compute an explicit formulation for zonal polynomials indexed by partitions of type [a, b, 1n−a−b]. Résumé. Cet article est dédié au calcul explicite des séries génératrices des constantes de structure de deux sousalgèbres commutatives de l’algèbre de groupe du groupe symétrique, l’algèbre de classes et l’algèbre de double classe latérale. Tel que montré par Hanlon, Stanley and Stembridge (1992), ces séries déterminent la distribution spectrale de certaines matrices aléatoires importantes en statistique. Morales et Vassilieva (2009, 2011) ont trouvé des formules explicites pour ces séries génératrices en termes des monômes symétriques en introduisant une bijection entre les hypercartes partitionées sur des surfaces (localement) orientables et certains arbres et forêts décorées. Grâce à des moyens purement algébriques, nous retrouvons la formule pour l’algèbre de classe et déterminons une nouvelle formule plus simple pour l’algèbre de double classe latérale. En tant que point saillant de notre démonstration nous calculons une formulation explicite pour les polynômes zonaux indexés par des partitions de type [a, b, 1n−a−b].